Anleihen: Ergibt das Sinn? Wieso ist das so?

diophantosIm Folgenden möchte ich der Allgemeinheit ein bis heute scheinbar nicht geklärtes Mysterium eröffnen. Es geht dabei ganz simpel um die Tatsache, dass die Anleihenslots nacheinander befüllt werden sollten und vor der Aufstockung eines weiteren Slots erst der vorherige Slot bis zum Anschlag gefüllt werden sollte. Einige Spieler haben es sich nämlich zur Aufgabe gemacht ihre Anleihen äußerst ineffizient zu zeichnen. Außerdem soll dieser Artikel ein Beispiel darstellen, wie man ein im Spiel auftretendes (mathematisches) Problem selbst lösen kann, ohne einen Administrator damit zu belästigen. Gehirn-Jogging schadet bekanntlich nicht.

Berechnung des Zinssatzes für Slots verschiedener Größen

In erster Linie stellt sich die Frage, wie denn die verschiedenen Zinssätze für die verschiedenen Slotgrößen berechnet werden. Im Schnitt soll der Zins für eine Anleihe über 100.000€ bei 1,2% liegen. Im Normalfall sehen die Zinsen pro Tag für Anleihen mit einer Laufzeit von 10 Tagen so aus:

SlotZins
100.000€1.2%
200.000€0.7%
300.000€0.53%
400.000€0.45%
500.000€0.4%
600.000€0.37%
700.000€0.34%
800.000€0.325%
900.000€0.31%
1.000.000€0,3%
2.000.000€0,25%
3.000.000€0,2333%
4.000.000€0,225%
5.000.000€0,22%
6.000.000€0,2164%
7.000.000€0,2142%
8.000.000€0,2125%
9.000.000€0,2111%
10.000.000€0,21%

Der Übersichtlichkeit halber sind die Werte nun auf zwei Charts verteilt:





Es fällt bereits auf, dass bei einer Slotgröße von 1.000.000€ der Zins gegen 0,2% strebt. Nachfolgend wird dies noch mal deutlich, wenn man die Zinssätze für Anleihen im Millionenbereich betrachtet:



Der Zinssatz strebt für große Anleihen also offensichtlich gegen 0,2%. Eine für x=0 undefinierte Funktion, die für x>0 immer kleiner wird und dabei gegen einen bestimmten Wert strebt ist im Regelfall eine gebrochenrationale Funktion in der Form von f(x)=\frac{1}{x}+C. Der höchste Wert liegt bei 1,2, die Funktion strebt gegen 0,2. Offensichtlich ist C=0,2 und damit die Funktion für die Zinssätze gegeben. x ist definiert als \frac{Slotgroesse}{100.000}. Der Zins berechnet sich also als Z(x)=\frac{1}{x}+0,2. Durch x=\frac{Slotgroesse}{100.000} ergibt sich nun:Z(x)=\frac{100.000}{Slotgroesse}+0,2.

Extremalproblem

Die Anleihen sind auf acht Slots begrenzt. Die angenommene Laufzeit von Anleihen beträgt 10 Tage, da diese am effizientesten sind. Dies beruht auf dem höheren Zinssatz dieser sowie auf dem Effekt des Zinseszins. Wir vereinfachen das Problem auf zwei Slots, dies lässt sich nachträglich bequem auf acht Slots übertragen. Die Frage lautet also: Wie verteilt man einen zu investierenden Betrag bestmöglich auf zwei Slots, wobei ”bestmöglich” für ”am effizientesten” steht. Für zwei Slots berechnet sich der Auszahlungsbetrag so:

s_n:=\mbox{Groesse von Slot }n\mbox{ in 100.000 }

K:=\mbox{zu investierender Betrag}

R:=\mbox{Rendite}
R=\frac{s_1*\frac{\frac{1}{s_1}+0,2}{100}}{s_1}+\frac{s_2*\frac{\frac{1}{s_2}+0,2}{100}}{s_2}

Nach Kürzen der Brüche erhält man nun:
R=\frac{\frac{1}{s_1}+0,2}{100}+\frac{\frac{1}{s_2}+0,2}{100}

Die für Extremalprobleme typische Nebenbedingung wird eingeführt:
K=s_1+s_2 \Rightarrow s_2=K-s_1

Nun wird s_2 substituiert und zusammengefasst, wodurch eine Funktion in Abhängigkeit von s_1 mit dem Parameter K entsteht:
R(s_1)_K=\frac{\frac{1}{s_1}+0,2}{100}+\frac{\frac{1}{K-s_1}+0,2}{100}

Nun wird dank des Nenners zusammengefasst:
R(s_1)_K=\frac{0,4+\frac{1}{s_1}+\frac{1}{K-s_1}}{100}

Der Nenner wird als Bruch ausgeklammert:
R(s_1)_K=\frac{1}{100}*\left(0,4+\frac{1}{s_1}+\frac{1}{K-s_1}\right)
Um nun den optimalen Wert für s_1 zu bestimmen, werden die Grenzwerte für s_1\rightarrow0 und s_1\rightarrow\infty ermittelt.
\lim_{s_1\to0}R(s_1)_K=\inftyFür s_1\rightarrow0 gilt also R\rightarrow\infty, da durch einen kleiner werdenden Nenner innerhalb des Klammerterms dieser gegen \infty strebt.

\lim_{s_1\to\infty}R(s_1)_K=0,4Für s_1\rightarrow\infty gilt also R\rightarrow0,4, da durch einen größer werdenden Nenner innerhalb des Klammerterms dieser bis auf 0,4 gegen 0 strebt. Dies ist auch logisch, da bei zwei belegten Slots jeder mit wenigstens 0,2% verzinst wird. Im Spiel ist nun der kleinste Slot 100.000\EUR, folglich ist es sinnvoll bei einer Gesamtmenge an zu investierendem Kapital die Slots nacheinander zu füllen und so viele Slots wie nur möglich nur mit diesem Minimum zu blegen.

Fazit

Insgesamt bedeutet dies, dass es sinnvoll ist, so viele Slots wie möglich mit möglichst wenig Kapital zu nutzen und den Rest des zu investierenden Kapitals auf möglichst wenige Slots zu verteilen. Diese Erkenntnis wurde zwar bereits mehrfach gewonnen, hier liegt jedoch erstmalig ein mathematischer Beweis vor. Verweisen möchte ich schlussendlich für weniger mathematisch orientierte Ausführungen zu den Anleihen noch auf die vor einiger Zeit bereits erschienen Artikel von Zarak und Knorff.

2 comments for “Anleihen: Ergibt das Sinn? Wieso ist das so?

  1. Anonymous
    3. September 2015 at 17:39

    “Dem Distributivgesetz nach darf man nun schreiben:

    Das halt ich ja für ein Gerücht…

    Zudem hast Du bei der Formel obendrüber die eine Klammerung vergessen.

  2. Diophantos
    3. September 2015 at 18:25

    Habe den Fehler korrigiert. Danke für den Hinweis, ändert aber nichts am Ergebnis 🙂

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